こんにちは。horyです。
極限の三角関数が絡む有名公式の一つに「sin x/x」の公式があります。今回はこの公式の原理を証明するとともに、この公式を用いた簡単な計算問題について簡単にまとめます。
この公式は数Ⅲの極限では非常に汎用性・有用性が高いです。必ず原理から理解し、使えるようになってほしいです。
「sin x/x」原理の導出
以下は公式の原理を導くための問題です。
この問題を例に解説します。非常に重要な問題です。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。まずは状況を図示します。
扇形の面積の求め方を忘れる人がかなり多いですが、この記事にのっています。
また、（１）で求める面積の大小関係をよく考えてください。
以上で下準備は完了です。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。
以上により求めることができました。
（２）解答・解説
求める極限ですが「0/0」の不定形であり計算することができません。
かといってこの式単体だけで極限を求めることもできません。どうしたものかと思いますが、（１）で求めた3つの図形の面積の大小関係を用いて「はさみうちの原理」を用います。
「三角形OAB<扇形OAB<三角形OCB」を利用します。
ここで、不等式の逆数を取ります。
目的の式を不等式で挟むことに成功しました。「θ→+0」に飛ばしてあげます。
以上から「はさみうちの原理」より・・・
この公式は非常に重宝する公式です。
余談ですが、「θ→-0」でも同じ公式が成立します。やり方は点Aを第四象限に設定して三角形OAB, 扇形OAB, 三角形OBCの面積の大小関係を設定します。自分でやってみてください。ただし、面積が正であることを忘れないでください(絶対値が必要です)。
「θ→±0」で上の公式が成立するので・・・
三角関数と極限 公式を用いた計算問題
以下は「sinx/x」公式を用いる簡単な計算問題です。
これらの問題を例に練習しましょう。
公式の形に(無理やりでも)持っていくのが定石となってきます。
- Sinでまとめてみる (cos や tanの排除)
- Sinを無理やり作る (三角関数の公式)
上記の二つを利用するのが公式の形に持っていく主な手段です。頑張りましょう。
（１）解答・解説
「0/0」の不定形で計算することができません。また、ルートがあるのでまずは有利化します。
以上から公式の形を登場させることができたので極限値を求めることができました。
（２）解答・解説
tanが邪魔なので三角関数の公式を用いて排除します。
以上から極限値を求めることができました。当たり前ですが、「cos x」は「x→0」で１に収束します。
（３）解答・解説
Cosが邪魔なので公式で排除してsinのみにします。
公式で逆数の形になっていても1に収束します。
（４）解答・解説
半角の公式でcosをsinにします。
以上により極限値を求めることができました。
（５）解答・解説
tanが邪魔なので公式を用いて排除します。
以上より極限値を求めることができました。
