こんにちは。horyです。
数学の「場合の数」の問題で定番となる問題が「男女の並び替え」と「数字の並び替え(整数を作る)」の問題です。
今回はこれらの問題の攻略に関して記事にまとめました。
必要であれば、「順列・組合わせ_押さえるべきポイント」の記事を読んでおくことをおすすめします。
男女の並べ替え
まず、「男女の並び替え」に関する問題とは以下のような問題のことです。
本問を例に解説します。
また本問では図を示すとき、「男子」=「M」、「女子」=「F」とします。
この問題のポイントは(3)～(5)のように並べ方に条件があるときは制約された条件を先に考えることです。
(1)の解答・解説
条件の指定がないので「異なる9人から6人を選んで・並べます」
(2)の解答・解説
男子のみなので、「男子6人を一列に並べる」
(3)の解答・解説
制約された条件である「左端の女子」から考えます。
「左端の女子」は「女子3人から1人を選ぶ場合の数」です。
「残り」は「8人から5人を選んで並べる場合の数」なので・・・
(4)の解答・解説
制約された条件である「両端の女子」から考えます。
「両端の女子」は「女子3人から2人を選び、両端で並び替える場合の数」です。
「残り」は「7人から4人を選んで並べる場合の数」なので・・・
(5)の解答・解説
「男女が交互に並ぶ」⇔「男子3人・女子3人」で並べる
男子でも女子でもどちらから考えても良いですが、今回は「男子」から考えます。
「男子から並べる」⇔「男子6人から3人を選んで並べる」
女子を「男子が隣り合わないように並べる」方法ですが、図を書くと分かりやすいです。
〇の位置に女子を「男子が隣り合わないように並べる」方法の総数を考えます。
上の2通りについて、女子の並び替えも考慮しなければならないので解答は・・・
数字の並び替え (整数を作る)
「数字の並び替え」は以下のような問題です。
本問のように整数を作る問題で気をつけなければならない大前提として「先頭に0が来ない」ことです。
(1)の解答・解説
「先頭」を0以外の7つの数字から選ぶ
「残り4つ」を7つの数字のうち4つを選び並べる
(2)の解答・解説
偶数になる条件は最後尾の数字が偶数であれば良いです(０も偶数に含む)。
注意として、先頭が偶数か奇数かで条件が変化します。
先頭が偶数の時と奇数の時を合わせて1500通り
(3)の解答・解説
(2)の偶数の時と同じ要領です。
自分でやってみてください。
(2)と同じ要領でやっても良いですが、整数は偶数と奇数で分かれるので・・・
総数=偶数+奇数とすれば簡単な方法で求めれます。
(4)の解答・解説
本問はヒントを出します。自分でやってみてください。
倍数の判定法は別の記事で話す予定ですが、「各位の数の和が3の倍数」であれば、その整数は「3の倍数」です。
ちなみに、「各位の数の和が9の倍数」であれば、その整数は「9の倍数」です。
Kを0以上の整数と考えると、全ての0以上の整数は3k, 3k+1, 3k+2のように表せます。(３の倍数・3でわって1余る数・3で割って2余る数)
4桁の整数をabcdのように表すと、3の倍数になる条件は・・・
これらの3つの条件について、「先頭が0にならない」という大原則を守り、数字を選んで並べれば良いです。
まとめ
今回の記事では順列の定番問題である「男女の並び替え」・「数字の並び替え」の問題について解説しました。
弱点がなくなってくれると幸いです。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
