こんにちは。horyです。
数学の「組合わせ」の定番問題に「人の組み分け」についての問題があります。
今回は、この問題の攻略について記事をまとめました。
必要であれば、「順列・組合わせ_押さえるべきポイント」の記事を読むと理解がより深まります。
「組み分け」の問題
まず、「組み分け」の問題は以下のような問題のことです。
上の問題を例に「組み分け」の問題を解説します。
問題を解く前のポイント
問題を解く前に気をつけなければならないポイントとして、問題文の表現によって計算の仕方が変化することに気をつけてください。
以下に気をつけるべきポイントをリスト化します。
- 組に区別があって、どの組に何人はいるか決まっている・・・人を選ぶだけ
- 組に区別があるが、どの組に何人かは決まっていない・・・人を選び、組を並べ変える
- 組に区別がない (人を選ぶが、人数が同じ組があるとき注意)
以上の3点を意識してみてください。
問題を解く
問題を解いてみます。以下は解答・解説です。
(1)の解答・解説
本問は組に区別があって、どの組に何人か決まっています。
そのため、人を選ぶだけです。
(2)の解答・解説
本問は組に区別はありますが、どの組に何人かは決まっていません。
そのため、組の並べ替えを考えなければなりません。
(3)の解答・解説
本問は組に区別がないです。
また、人数が同じ組もないため、人を選ぶだけの問題になっています。
そのため、(1)と答えが同じです。
(4)の解答・解説
本問は組に区別があって、どの組に何人か決まっています。
そのため、考え方は(1)と同じです。
(5)の解答・解説
本問は組に区別はありますが、どの組に何人かは決まっていません。
そのため、組の並べ替えを考えなければなりません。
しかし、2人の組二つは区別ができないので、どの組を2人にするかの決め方は3通りです。
(6)の解答・解説
本問は組に区別がありませんが、人数が同じ組があることに注意です。
人数が同じ組は区別ができないので2!で割る必要があります。
このタイプの問題で、同じ人数の組がN組あるときはN!で割る必要があります。
(7)の解答・解説
「特定のA,Bが同じ組」という制約された条件があります。
制約された条件を先に考えます。
そのため、A,Bがすでに組に入っていると考えます。
問題はA,Bが4人の組に分けられるときと、2人の組に分けられるときで分かれると言うことです。
・4人組にA,Bが入る
上のように分けることができます。
このとき、二つの二人組は区別することができないです。
・2人組にA,Bが入る
上のように分けることができます。
このとき、同じ人数の組が二つありますが、「特定のA,B」が入っているので区別できます。
(ただ、組に名前がないので組の並べ替えはありません。1/2!を掛ける必要がないです。)
以上より、45+15=60通りです。
まとめ
今回の記事では「組合わせ」の定番問題である「人の組み分け」に関する問題を解説しました。
「組み分け」を数える問題が出ても焦らずに解くことができるようになったのではないでしょうか？
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
