こんにちは。horyです。
「確率」では「組合わせ」の考え方をよく使うことがあります。
「反復試行・独立試行」の確率はその中の１つになります。
今回は「反復試行・独立試行」の確率の攻略について簡単にまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
反復試行
反復試行とは同じ試行を何回も繰り返すことです。
例えば・・・
- 箱の中の玉を取って戻すことを何回も繰り返す
- サイコロを何回も投げる
- コインを何回も投げる
上のようなときは反復試行の確率です。
反復試行では「確率の分母・分子」を「場合の数」で考えずに「確率」のまま考えます。
独立試行
独立試行とは、複数の事象を考えたとき、それらの事象が互いに影響を及ぼさないことです。
例えば・・・
- サイコロを投げて偶数が出る
- コインを投げて表が出る
上の２つの事象は互いに影響を及ぼしません(コインとサイコロは別のモノ)。
「独立・反復試行」と「組合わせ」
事象A,B,Cは互いに独立であるとします。
これらの事象が起こる確率と回数を以下の表のように定義します。
上のようなことが起こる確率を求めてみます。
ただし、回数について以下の式を満たします。
ところで、この確率を考えるとき・・・
- 事象A_x回がどのタイミングで起こるかをn個の場所から選ぶ
- 事象B_y回がどのタイミングで起こるかをn-x個の場所から選ぶ
- 事象C_z回がどのタイミングで起きるかは残りの場所に当てはめる
上のように考えられるので「組合わせ」の考え方を用います。
そのため、上の表のようなことが起きる確率は・・・
と表すことができます。
練習問題
以下は練習問題です。
以上の問題を例に解説します。
（１）の解答・解説
解答に移る前に以下の表を用いて考えます。
以上より、求める確率は・・・
（３）の解答・解説
解説の都合上、(3)から解説します。
以上より、求める確率は・・・
（２）の解答・解説
赤玉がk回取り出される確率を求めます。
上記の表を参考にすると確率は・・・
上記の式について「k=4～6」にして確率の和を求めます。
（２）計算に二項定理
(2)の計算に二項定理を用います。
赤い部分は同じです。
（２）の別解
赤が「出ること」と「出ないこと」は対等ということを利用します。
「左の青の部分」と「右の青の部分」の確率は同じです。
つまり、「赤の部分」の確率を余事象として、1から引いた値に1/2を掛けることで求めれます。
まとめ
今回は「反復試行・独立試行」の確率の攻略について簡単にまとめました。
今回紹介したような問題は確率で頻出するので必ずできるようになってください。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
