こんにちは。horyです。
整数の問題で「余りで判別する」というのはかなり有効的な方法です。
特に平方数が出てきたら、この方法に目をつけると強いと思います。
今日は「余りで判別する」問題の攻略を中心に記事をまとめました。
整数の表し方
ある数の倍数に注目すると全整数は余りを用いて書き下せます。
(この方法は覚えた方が良いです)
例えば、「3の倍数」に注目すると全整数はkを整数として以下のように表せます。
このようにすると数の和・差・積・商がどんな数になるか調べるのに有効です。
平方数と余り
平方数と余りには面白い性質があります。
平方数を3で割った余り
以上から、平方数を3で割った余りに2は存在しないです。
平方数を4で割った余り
以上より、平方数を4で割った余りに2と3は存在しないです。
これらのことから「平方数を特定の数で割ると決まった値しか存在しない」ことが分かります。
このことは事あるごとに使えるので覚えておいて損はないです。
次にこの特性を活かした問題を解いてみましょう。
問題
この問題を例に解説します。
直角三角形のため、三平方の定理です。
倍数についての問題で二乗が絡むので3の倍数に注目し、余りに着目します。
先ほど話しましたが、平方数を3で割った余りは0か1です。
解答・解説
「x,y」について考えます。以下のような表を導入します。P,Qを自然数と考えます。
また、互いに素のため「どちらも3の倍数」はあり得ません。
また、「2乗の和」について、x,yは等価です(これを書くと場合分けが省略)。
実際に余りを求めるときは①の左辺に代入して3でくくって考えるべきです。
(今回は冗長になるため端折ります)
上の表より、x,y,zが互いに素であるなら、x,yのうち一方が3の倍数で他方が3の倍数でないと3で割った余りが1にならない
①の右辺は平方数のため3で割った余りが2になることはない。
そのため、x,yのうち少なくとも一方は3の倍数
