こんにちは。horyです。
「場合の数」の問題で立体の塗り分け方に関する問題があります。
この問題は考え方などを知らないとできないことが多いです。
今回はこれらの分野における有名問題の考え方・攻略に焦点を当てて記事を簡単にまとめました。
必要なら「円順列」と「数珠順列」の違いの記事を読んでおいてください
空間図形の塗り分け
空間図形の色の塗り分け問題とは以下のような問題のことです。
5色の異なる絵の具を全て用いて正四角錐の各面をそれぞれ１つの色に塗る。
塗り方の総数を求めろ
この問題を例に解説します。
問題を解く前のポイント
問題を解く前のポイントとして・・・
・面の対等性
まず、面の対等性を意識してください。
- 全ての面が対等・・・底面を固定する (すでに色が使われたとする)
- 全ての面が対等でない・・・底面を固定しなくてよい
・底面と側面で分ける
底面と側面の2ステップに分けてください。
最初に底面を考えて、その後、側面を円順列で考えます。
例題の解答・解説
底面と側面の2ステップに分けます。
- 底面・・・５通り
- 側面・・・(4-1)! = 3×2= 6通り
よって、解答は5×6通りで30通りです。
練習問題
以下は練習問題です。
このような問題は実際に解いてみないと慣れないので考えて解いてみてください。
上の問題を例に解説します。
(1)の解答・解説
まずは、以下の図を見てください。
まずは、以下の図を見てください。
本問は全ての面が対等です。
- １つの面 (底面)を固定します
- 上面の色を決めます・・・5通り (底面ですでに１色が使われている)
- 次に側面を円順列で考えます・・・(4-1)! 通り
解答は5×3! =30通りです。
(2)の解答・解説
まず、隣り合う面の色が異なるように塗るので上面と底面が同じ色になります。
- 上面と底面の色を決めます・・・5通り
- 次に側面を円順列で考えます・・・(4-1)! 通り
- 全ての面が対等なのでひっくり返すと同じです・・・2で割る
解答は5×3!÷2 =15通りです。
(3)の解答・解説
まずは、以下の図を見てください。
底面と上面は正三角形で、側面は長方形です。
そのため、全ての面が対等ではありません。
- 底面の色を決めます・・・5通り
- 上面の色を決めます・・・4通り
- 側面を円順列で考えます・・・(3-1)! 通り
以上より解答は5×4×2 = 40通り
(4)の解答・解説
隣り合う面の色が異なるように塗るので上面と底面が同じ色になります。
- 上面と底面の色を決めます・・・5通り
- 次に側面を円順列で考えます・・・(4-1)! 通り
- 全ての面が対等なのでひっくり返すと同じです・・・2で割る
解答は4×2!÷2 =4通りです。
(5)の解答・解説
まずは、以下の図を見てください。
本問は全ての面が対等です。
- 底面を固定
- 側面の円順列を考えます・・・(3-1)!
解答は2通りです。
まとめ
今回は立体の塗り分けについて簡単にまとめました。
よく復習しておいてください。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
