こんにちは。horyです。
数学の「命題」と「条件」について、「覚えることが多すぎて困る」という声をよく聞きます。
そんな人のために、今回の記事では「命題」と「条件」についての基本事項をまとめました。
必要であれば「集合_基本事項まとめ」の記事を読んでおいてください。理解がより深まります。
命題と条件
「命題」と「条件」は以下のように説明できます。
- 命題_正しいか正しくないか(真偽)が明確に決まる式や文
- 条件_「全体集合U」の各要素について真偽の判定ができるもの
条件の説明にあるように、集合に関する問題に対処するには、まず、「全体集合」が何であるかを考えることが重要です。
仮定と結論
「PならばQ」という命題があるとき、条件Pを仮定、条件Qを結論といいます。
矢印を用いて「P⇒Q」と表してもいいです。
命題「PならばQ」の真偽を判定する際、以下のことを頭に入れておくといいです。
- 「広いところから狭いところに行くなら偽」
- 「狭いところから広いところに行くなら真」
具体的に問題を解いてみましょう。
Pの方が狭く、Qの方が広いです。
「狭いところから広いところに行くので、この命題は真」です。
反例について
命題「PならばQ」について、Pは満たすがQを満たさないものを反例といいます
一つでも示せれば反例を示したことになります。
問題を解いてみましょう。
集合と必要条件・十分条件
「P(x)⇒Q(x)」を以下のように定義します。
「P(x)が真である任意のxについて、Q(x)が真である」
条件の⇒を集合の∈に帰着させます。このとき、
P(x)はQ(x)であるための「十分条件」といいます。
言い換えると、「Q(x)であるためにはP(x)であればよい」_十分
Q(x)はP(x)であるための「必要条件」といいます。
言い換えると、「P(x)であるためにはQ(x)でなければならない」_必要
まとめ
今回の記事では「命題・条件」の基本事項についてまとめました。
必ず理解しておいてください
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
