こんにちは。horyです。
数学の「順列」には「同じモノを含む順列」というものがあります。
今回は「同じモノを含む順列」の基本事項の解説と問題の攻略について記事を簡単にまとめました。
必要なら「順列・組合わせ_押さえるべきポイント」の記事を読んでおくことをお勧めします。
同じモノを含む順列
「同じモノを含む順列」とは以下のようなものです。
本問ですが、「場合の数」の考え方では「同じもの」は区別しません。そのため、順列の総数はn! ではありません。
n個の全てがそれぞれ異なっていればn!でokです。
上の問題における順列の総数は以下のようになります。
証明
総数が何故、上のように書くことができるのか証明します。
(以下は簡単のため、a+b+c=nと考えます)
この問題のポイントは場所取り(場所の選び方です)
ここで重要なのは・・・
「同じものを並べる順列」は、「組合わせ」と密接な関係があると言うことです。
このことは非常に重要なので頭に入れておくべきです。
練習問題
以下は練習問題です。
上の問題で練習していきましょう。
(1)の解答・解説
それぞれの文字列に分けて解説します。
BIMKO
この文字列は同じ文字が存在しません。
そのため、異なる6文字を一列に並べる場合の数と同じです。
AAPEPK
この文字列には同じ文字が存在します。
AとPがそれぞれ二つずつです。この場合は上で証明したことを利用すると・・・
(2)の解答・解説
問題を解く前に・・・
BIMAKOであれば
- 母音・・・I, A, O
- 子音・・・B, M, K
AAPEPKであれば
- 母音・・・A, A, E
- 子音・・・P, P, K
ということは押さえておかなければなりません。
また、母音は隣り合ってはいけないですが、子音は隣り合っても問題ないです。
それぞれの文字列に分けて解説します。
(母音を「母」、子音を「子」として解説します）
BIMAKO
次の図のように考えてみます。
上の図の4つの〇にどのように子音が入るかを考えます。
今回は子音の文字は全て異なっています。
そのため、子音の並べ方は「4つの場所から子音が入る3つの場所を選び・並べる順列」なので・・・
また、忘れてはならないのが母音にも並べ替えが起こることです。今回は母音の文字は全て異なっています。
そのため、並べ方の総数は・・・
AAPEPK
考え方はBIMAKOのときと全く同じです。ただし、同じ文字が母音にも子音にもあることに注意です。
上の4つの○にどのように子音が入るかを考えます。
今回は子音の文字は同じ文字Aがあります。
そのため、子音の並べ方は「4つの場所から子音が入る3つの場所を選び、3文字の文字列としてみたとき、2つの文字が同じ」なので・・・
母音の並べ替えも考えなければなりません。今回は母音の文字の二つが同じです。
そのため、並べ方の総数は・・・
まとめ
今回は「同じモノを含む順列」の基本事項の解説と問題の攻略について記事を簡単にまとめました。
似たような問題を解いてみて復習しておいてください。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
