こんにちは。horyです。
全国の高校1年生が数学で最初にぶつかる壁というのが「二次関数」だと思います。
今回の記事では「二次関数」の基本事項について、「形」・「移動」を中心にまとめてみました。
二次関数とは
まず、二次関数とは、y=xの式で基本形は以下のように書くことができます。
もちろん、「二次関数」とあるので、出てくる文字は全て実数でa≠0です。
①と②はどちらも二次関数の式ですが、使い方が違います。
- 軸や頂点の情報が分かっている・・・①を用いる
- 通る点の情報のみ分かっている・・・②を用いる
このカテゴリーでは①の式で二次関数の式を定義します。
とはいっても、「二次関数の形」・「軸」・「頂点」と言われても何のことか分からないと思います。。。
二次関数の「形」
以下に二次関数の形を図にしました。
重要なのは(aが任意の実数の時)・・・
- a > 0・・・下に凸の二次関数
- a < 0・・・上に凸の二次関数
- a = 0・・・「一次関数」か「y軸に平行な直線」(②の式)
特に、「aが任意の実数」のとき、「a=0」を忘れる人がかなり多いので注意です。
二次関数の「軸」と「頂点」
以下に２つの二次関数を表した図を示します。
図には２つの二次関数の軸や頂点の情報も示してあるのでよく確認してください。
ここで、重要な点が２つあります。
一つ目は二次関数が軸について対称的であること (軸について折り返すと重なる)
二つ目は青いグラフを「x軸にp, y軸にqだけ平行移動したもの」がオレンジのグラフであることです。
この２つのことは非常に重要なので頭に入れておいてください。
関数の「平行移動」
関数の「平行移動」と「対称移動」について簡単にまとめます。
「二次関数」に限らず、「全ての関数」で言えることなので、必ず理解しておきたいです。
(最後の方まで使えます)
平行移動_「x軸に・・・y軸に・・・」
ところで、先ほどの説明で・・・
青いグラフを「x軸にp, y軸にqだけ平行移動したもの」がオレンジのグラフである。
と説明しました。
つまり・・・
何故このようにできるのか証明したいと思います。
関数を以下のように定義します。
移動前の関数F(x)上の点A(X,Y)がG(x)上のB(x,y)に移動するとします。
AはF(x)上の点なので、次のことが成立します。
目標は上の式のXとYをX→x, Y→yに変換することです。
点Aと点Bについて以下の関係式が成立します。
(＊)の式に代入すると・・・
確かに、平行移動後の式と一致しました。
このことは全ての関数で成立します。
問題_平行移動
平行移動に関するちょっとした問題です。
この問題を例に解説します。
解答① 「証明したことの利用」
上で証明したことをそのまま利用します。
このやり方は「どんな関数の平行移動」でも使えます。
解答②「頂点の位置」の利用
このやり方は二次関数のような場合にしか利用できません。
ただし、①のやり方よりも簡単な計算で導出できます。
このやり方は「平方完成」という方法を用います。「平方完成」については別の記事で書きます。
解答①で導出した式と一致しました。
関数の「対称移動」
「関数の対称移動」については3つあります。
ただ、対称移動はグラフを用いて考えれば平行移動よりもずっと簡単です。
- y軸に対称移動 (y軸に折り返す)
- x軸に対称移動 (x軸に折り返す)
- 原点に対称移動 (原点に折り返す)
上記の3つの移動について個別に解説します。
・y軸に対称移動
以下に図を示します。
以下は証明になります。
移動前の関数F(x)上の点A(X,Y)がG(x)上のB(x,y)に移動するとします。
以下は「y軸についての対称移動」に関するちょっとした問題です。
x軸に対称移動
以下に図を示します。
以下は証明になります。
移動前の関数F(x)上の点A(X,Y)がG(x)上のB(x,y)に移動するとします。
「x軸についての対称移動」に関するちょっとした問題です。
原点に対称移動
以下に図を示します。
以下は証明になります。
移動前の関数F(x)上の点A(X,Y)がG(x)上のB(x,y)に移動するとします。
「原点についての対称移動」に関するちょっとした問題です。
まとめ
今回の記事では「二次関数」の基本事項について、「形」・「移動」を中心にまとめてみました。
二次関数を始めるにあたって必ず理解しておきたいです。
これが理解できていないと二次関数は無理なので、よく復習しておいてください。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
