こんにちは。horyです。
いよいよこの記事でも数学Bの数列の内容に触れることになりました。
今回は等差数列について一般項と和の公式の原理を簡単にまとめようと思います。また、問題についても解説しようと思います。
この記事を読むことで暗記の負担は確実に減ると思います。
今回も頑張りましょう。
そもそも数列とは・・・
最初に、そもそも数列とは何かという点についてです。
数列とは、簡単に説明すると「数を並べたときの数の一団」のことです。
数列は以下のように表すことができます。
上のように表すことができます。一番初めの項を初項といいます。また、数列を自然数nで表したものを一般項といいます。
今後、数列を表すときは基本的に一般項で表します(問題では一般項を求める問題が多いです)。
等差数列の一般項と和の公式
等差数列の和と一般項についてです。
まず、等差数列とは以下のように表せます。
上の数列は初項が1で公差3の等差数列です。公差が負の値であっても等差数列と言います。
等差数列の一般項
等差数列の一般項は以下のように表せます。
先ほどの例に示した等差数列であれば一般項は以下のように書けます。
等差数列の和の公式の原理
等差数列の和の公式を導出してみます。
その前に、以下の計算を工夫して解いてみましょう。
上の数の一団は初項1、公差1の等差数列の第1項から第10項までの和と考えることができます。
和を求めるのは愚直な計算でもできますがスマートではありません。工夫して計算するために以下のような計算を行います。
これを以下の一般項で書かれた等差数列に応用することで第n項までの和を求めると・・・
先ほどの例と同様に①と②を上下に足してください。
これで等差数列の和の公式の原理は導出できました。
等差中項
等差数列の隣接する3項について以下の法則が成立します。
これが等差中項の関係式です。使うこともあるので覚えておいてください。
等差数列に関する簡単な問題
以下は等差数列に関する基本的な問題です。上の説明を応用して解いてみてください。
この問題を例に解説します。
このような問題で最初にやるべきことは一般項を定義することです。
（１）解答・解説
定義した一般項に代入します。
以上により初項と公差を求めることができました。
（２）解答・解説
一般項が0より大きい時を考えます。
以上からnの範囲は18以下の自然数です。
（３）解答・解説
等差数列の和の公式を用います。
- 正の項を加えると増加
- 負の項を加えると減少
以上から、この等差数列の最大値は初項から第18項までの和です。この数列の和をSとすると・・・
