こんにちは。horyです。
前回の記事ではベクトルの基礎事項について簡単に解説しました。
今回の記事ではベクトルの内分と外分の公式を原理から導出しようと思います。
この記事を読めば暗記の負担は確実に減ると思います。
ベクトルの内分・外分
以下のカテゴリーに分けて話します。
- ベクトルの内分の公式
- ベクトルの外分の公式
- 点の位置とベクトル
この3点について個別に話そうと思います。
ベクトルの内分公式
以下のような問題を考えます。
この問題を例に解説します。まず、状況を以下に図示します。
以上が内分点のベクトルの公式です。
ベクトルの外分公式
以下のような問題を考えます。
この問題を例に解説します。まず、状況を以下に図示します。
以上が外分点のベクトルの公式です。
点の位置とベクトル
先ほどの問題について、内分点と外分点の公式でそれぞれのベクトルにかかる係数の和を見てみましょう。
先ほどの三角形において、点Cが「直線AB上」にあればそれぞれのベクトルにかかる係数の和は１になります。これは結構重要です。
ここで、係数をα・βとすると・・・
では、先ほどの図形で以下のような場合に点Cはどの部分を動くか考えてみてください。
答えは以下の図に示すとおりです。もし納得できないのであれば簡単な値を入れて実験してみてください。ちなみに、境界(線上)は含みません。
ところで、このことは平面でなく空間ベクトルにも応用できます。
3次元空間において、任意のベクトルは３つの互いに平行でないベクトルを用いて以下のように書けます。
以下に図を示します。
以下の図で、点Dは平面ABC上です。
ここからは補充問題になりますが、αやβ、γを様々な値に変えてみたとき点Dがどこにいるかを図示してみてください。
