こんにちは。horyです。
確率で「じゃんけん」が絡むことってよくありますよね。
今日は「じゃんけん」が絡む確率の重要問題の攻略を中心に記事をまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
問題を解く前に・・・
以下は問題を解く前に押さえておきたい注意点です。
まず、手の出し方は、1人につき、「グー」・「チョキ」・「パー」の3つの出し方があるので、n人で「じゃんけん」するなら手の出し方の総数は (n≧2)・・・
また、以下のことにも注意です。
- 勝敗が決まる・・・2種類の手が出ている
- あいこ・・・手が1種類、または、3種類の手が出ている
「あいこ」についてですが、「あいこ」の確率は「1-勝敗の決まる確率」ということも覚えておいてください。
つまり「勝敗が決まる確率」と「あいこの確率」は「互いに余事象」の関係と言うことを頭に入れておいてください。
また、初学者は本記事の内容は飛ばしても良いです(数ⅡのΣを用いるため)。
問題
以下は基本問題です。
上の問題を解説します。
（１）の解答・解説
勝者が少なくとも1人＝出した手の種類が２種類
手の種類は「グー・パー」、「チョキ・グー」、「パー・チョキ」
手の出し方が２種類の時の総数は・・・
ここで、注意してほしいのは上の総数は手の出し方が１種類の時も含んでいます。
そのため、手の出し方が１種類の2通りを差し引く必要があります。
以上より、確率は・・・
（１）の別解_二項定理
二項定理を用います。以下は二項定理のおさらいです。
何度も言いますが、上の式は自分で書けるようになってください。
本題に戻ります。
勝者がk人となる確率を考えます。
ただし、1≦k≦n-1とします。
ここで終わってはいけません。
今やったことは、勝者がk人の時の手の出し方を求めただけに過ぎません。
勝者は「1人」・「2人」・・・「n-1人」の場合があります。これらの確率を足し上げる必要があります。
以上より、確率は以下のように書けます。
立式したのははいいものの、以下の式をどう処理するかです。これを処理できないと大幅減点ですが、二項定理を思い出せば処理ができます。
上の式の意味がよく分からないのであれば、二項定理の式で「a=b=1」としてみてください。
以上より解答は・・・
（２）の解答・解説
「あいこの確率」は「勝敗の決まる確率」の余事象です。
以上より・・・
まとめ
今日は「じゃんけん」が絡む確率の重要問題の攻略を中心に記事をまとめました。
今回紹介した問題は基本問題です。
いつか別の記事で応用問題も解説するかもしれません。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
